「白努利定律」修訂間的差異

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公式:
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<i>p + ½ρv<sup>2</sup> + ρgh</i> = 常數
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#v 流體速度
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#g 重力加速度(地球表面的值约為 9.8 m/s<sup>2</sup>)
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#h 流體處於的高度(從某參考點計)
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#p 流體所受的壓力強度
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#ρ 流體質量密度
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公式使用前提:
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# 穩定流(Steady flow):在流動系統中,流體在任何一點之性質不隨時間改變。
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# 不可壓縮流(Incompressible flow):密度為常數,在流體為氣體適用小於 0.3 馬赫的情況。
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# 無摩擦流(Frictionsless flow):摩擦效應可忽略,忽略黏滯性效應。
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# 流體沿著流線流動(Flow along a streamline):流體元素(element)沿著流線而流動,流線間彼此是不相交的。
  
<i>p</i>+½ρυ<sup>2</sup>+ρ<i>gh</i>=常數
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'''推論過程'''
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<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg' width=400 height=*/></div>
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淺藍色部分由 A<sub>1</sub> 段移到 A<sub>2</sub> 段的過程,機械能守恆:
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:W<sub>初始功</sub> = W<sub>末端功</sub> + ∆K(動能差) + W<sub>抬高位能</sub>
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:ƒ<sub>1</sub>×s<sub>1</sub> = ƒ<sub>2</sub>×s<sub>2</sub> + ½ m(v<sub>2</sub><sup>2</sup> − v<sub>1</sub><sup>2</sup>) + mg(h<sub>2</sub> − h<sub>1</sub>)
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:ƒ<sub>1</sub>×s<sub>1</sub> + ½ mv<sub>1</sub><sup>2</sup> + mgh<sub>1</sub> = ƒ<sub>2</sub>×s<sub>2</sub> + ½ mv<sub>2</sub><sup>2</sup> + mgh<sub>2</sub>
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設一小段淺藍色部分體積為 ▽ ,質量為 m ,密度為 ρ ,m = ρ▽:<br/>
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:ƒ×s + ½ mv<sup>2</sup> + mgh
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:= (ƒ/A)×A‧s + ½ ρ▽v<sup>2</sup> + ρ▽gh
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:= p▽ + ½ ρ▽v<sup>2</sup> + ρ▽gh
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:p<sub>1</sub>▽<sub>1</sub> + ½ ρ<sub>1</sub>▽<sub>1</sub>v<sub>1</sub><sup>2</sup> + ρ<sub>1</sub>▽<sub>1</sub>gh<sub>1</sub> = p<sub>2</sub>▽<sub>2</sub> + ½ ρ<sub>2</sub>▽<sub>2</sub>v<sub>2</sub><sup>2</sup> ρ<sub>2</sub>▽<sub>2</sub>gh<sub>2</sub>
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若流體不可壓縮,▽<sub>1</sub> = ▽<sub>2</sub> = ▽ ,ρ<sub>1</sub> = ρ<sub>2</sub> = ρ ,各項約去 ▽ :
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:<i>p + ½ρv<sup>2</sup> + ρgh</i> = 常數
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:其中 p 代表做功,½ ρv<sup>2</sup> 代表動能, ρgh 代表位能。
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===側方開孔量壓力差===
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<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Venturi5.svg' width=400 height=*/></div>
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p<sub>1</sub> − p<sub>2</sub> = ½ρ (v<sub>2</sub><sup>2</sup> − v<sub>1</sub><sup>2</sup>)
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#沒有高度差的白努利公式
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#A<sub>1</sub>‧s<sub>1</sub> = A<sub>2</sub>‧s<sub>2</sub> 各項同除以時間 t 得 A<sub>1</sub>‧v<sub>1</sub> = A<sub>2</sub>‧v<sub>2</sub>
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:v<sub>2</sub> = (A<sub>1</sub>/A<sub>2</sub>)v<sub>1</sub>
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ρh = p<sub>1</sub> − p<sub>2</sub> = ½ρ (A<sub>1</sub><sup>2</sup>/A<sub>2</sub><sup>2</sup> − 1) v<sub>1</sub><sup>2</sup><br/>
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h=½ (A<sub>1</sub><sup>2</sup>/A<sub>2</sub><sup>2</sup> − 1) v<sub>1</sub><sup>2</sup>

於 2021年1月3日 (日) 09:22 的最新修訂

公式: p + ½ρv2 + ρgh = 常數

  1. v 流體速度
  2. g 重力加速度(地球表面的值约為 9.8 m/s2)
  3. h 流體處於的高度(從某參考點計)
  4. p 流體所受的壓力強度
  5. ρ 流體質量密度

公式使用前提:

  1. 穩定流(Steady flow):在流動系統中,流體在任何一點之性質不隨時間改變。
  2. 不可壓縮流(Incompressible flow):密度為常數,在流體為氣體適用小於 0.3 馬赫的情況。
  3. 無摩擦流(Frictionsless flow):摩擦效應可忽略,忽略黏滯性效應。
  4. 流體沿著流線流動(Flow along a streamline):流體元素(element)沿著流線而流動,流線間彼此是不相交的。

推論過程

淺藍色部分由 A1 段移到 A2 段的過程,機械能守恆:

W初始功 = W末端功 + ∆K(動能差) + W抬高位能
ƒ1×s1 = ƒ2×s2 + ½ m(v22 − v12) + mg(h2 − h1)
ƒ1×s1 + ½ mv12 + mgh1 = ƒ2×s2 + ½ mv22 + mgh2

設一小段淺藍色部分體積為 ▽ ,質量為 m ,密度為 ρ ,m = ρ▽:

ƒ×s + ½ mv2 + mgh
= (ƒ/A)×A‧s + ½ ρ▽v2 + ρ▽gh
= p▽ + ½ ρ▽v2 + ρ▽gh
p11 + ½ ρ11v12 + ρ11gh1 = p22 + ½ ρ22v22 + ρ22gh2

若流體不可壓縮,▽1 = ▽2 = ▽ ,ρ1 = ρ2 = ρ ,各項約去 ▽ :

p + ½ρv2 + ρgh = 常數
其中 p 代表做功,½ ρv2 代表動能, ρgh 代表位能。

側方開孔量壓力差

p1 − p2 = ½ρ (v22 − v12)

  1. 沒有高度差的白努利公式
  2. A1‧s1 = A2‧s2 各項同除以時間 t 得 A1‧v1 = A2‧v2
v2 = (A1/A2)v1

ρh = p1 − p2 = ½ρ (A12/A22 − 1) v12
h=½ (A12/A22 − 1) v12