「白努利定律」修訂間的差異
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| + | <i>p ＋ ½ρv<sup>2</sup> ＋ ρgh</i> = 常數 | ||
| + | #v 流體速度 | ||
| + | #g 重力加速度(地球表面的值约為 9.8 m/s<sup>2</sup>) | ||
| + | #h 流體處於的高度(從某參考點計) | ||
| + | #p 流體所受的壓力強度 | ||
| + | #ρ 流體質量密度 | ||
| + | 公式使用前提： | ||
| + | # 穩定流(Steady flow)：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變。 | ||
| + | # 不可壓縮流(Incompressible flow)：密度為常數，在流體為氣體適用小於 0.3 馬赫的情況。 | ||
| + | # 無摩擦流(Frictionsless flow)：摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應。 | ||
| + | # 流體沿著流線流動(Flow along a streamline)：流體元素(element)沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的。 | ||
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| + | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg' width=400 height=*/></div> | ||
| + | 淺藍色部分由 A<sub>1</sub> 段移到 A<sub>2</sub> 段的過程，機械能守恆： | ||
| + | :W<sub>初始功</sub> = W<sub>末端功</sub> ＋ ∆K(動能差) ＋ W<sub>抬高位能</sub> | ||
| + | :ƒ<sub>1</sub>×s<sub>1</sub> = ƒ<sub>2</sub>×s<sub>2</sub> ＋ ½ m(v<sub>2</sub><sup>2</sup> − v<sub>1</sub><sup>2</sup>) ＋ mg(h<sub>2</sub> − h<sub>1</sub>) | ||
| + | :ƒ<sub>1</sub>×s<sub>1</sub> ＋ ½ mv<sub>1</sub><sup>2</sup> ＋ mgh<sub>1</sub> = ƒ<sub>2</sub>×s<sub>2</sub> ＋ ½ mv<sub>2</sub><sup>2</sup> ＋ mgh<sub>2</sub> | ||
| + | 設一小段淺藍色部分體積為 ▽ ，質量為 m ，密度為 ρ ，m = ρ▽：<br/> | ||
| + | :ƒ×s ＋ ½ mv<sup>2</sup> ＋ mgh | ||
| + | := (ƒ/A)×A‧s ＋ ½ ρ▽v<sup>2</sup> ＋ ρ▽gh | ||
| + | := p▽ ＋ ½ ρ▽v<sup>2</sup> ＋ ρ▽gh | ||
| + | :p<sub>1</sub>▽<sub>1</sub> ＋ ½ ρ<sub>1</sub>▽<sub>1</sub>v<sub>1</sub><sup>2</sup> ＋ ρ<sub>1</sub>▽<sub>1</sub>gh<sub>1</sub> = p<sub>2</sub>▽<sub>2</sub> ＋ ½ ρ<sub>2</sub>▽<sub>2</sub>v<sub>2</sub><sup>2</sup> ＋ ρ<sub>2</sub>▽<sub>2</sub>gh<sub>2</sub> | ||
| + | 若流體不可壓縮，▽<sub>1</sub> = ▽<sub>2</sub> = ▽ ，ρ<sub>1</sub> = ρ<sub>2</sub> = ρ ，各項約去 ▽ ： | ||
| + | :<i>p ＋ ½ρv<sup>2</sup> ＋ ρgh</i> = 常數 | ||
| + | :其中 p 代表做功，½ ρv<sup>2</sup> 代表動能， ρgh 代表位能。 | ||
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| + | ===側方開孔量壓力差=== | ||
| + | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Venturi5.svg' width=400 height=*/></div> | ||
| + | p<sub>1</sub> − p<sub>2</sub> = ½ρ (v<sub>2</sub><sup>2</sup> − v<sub>1</sub><sup>2</sup>) | ||
| + | #沒有高度差的白努利公式 | ||
| + | #A<sub>1</sub>‧s<sub>1</sub> = A<sub>2</sub>‧s<sub>2</sub> 各項同除以時間 t 得 A<sub>1</sub>‧v<sub>1</sub> = A<sub>2</sub>‧v<sub>2</sub> | ||
| + | :v<sub>2</sub> = (A<sub>1</sub>/A<sub>2</sub>)v<sub>1</sub> | ||
| + | ρh = p<sub>1</sub> − p<sub>2</sub> = ½ρ (A<sub>1</sub><sup>2</sup>/A<sub>2</sub><sup>2</sup> − 1) v<sub>1</sub><sup>2</sup><br/> | ||
| + | h=½ (A<sub>1</sub><sup>2</sup>/A<sub>2</sub><sup>2</sup> − 1) v<sub>1</sub><sup>2</sup> | ||
於 2021年1月3日 (日) 09:22 的最新修訂
公式： p ＋ ½ρv2 ＋ ρgh = 常數
- v 流體速度
- g 重力加速度(地球表面的值约為 9.8 m/s2)
- h 流體處於的高度(從某參考點計)
- p 流體所受的壓力強度
- ρ 流體質量密度
公式使用前提：
- 穩定流(Steady flow)：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變。
- 不可壓縮流(Incompressible flow)：密度為常數，在流體為氣體適用小於 0.3 馬赫的情況。
- 無摩擦流(Frictionsless flow)：摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應。
- 流體沿著流線流動(Flow along a streamline)：流體元素(element)沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的。
推論過程
淺藍色部分由 A1 段移到 A2 段的過程，機械能守恆：
- W初始功 = W末端功 ＋ ∆K(動能差) ＋ W抬高位能
- ƒ1×s1 = ƒ2×s2 ＋ ½ m(v22 − v12) ＋ mg(h2 − h1)
- ƒ1×s1 ＋ ½ mv12 ＋ mgh1 = ƒ2×s2 ＋ ½ mv22 ＋ mgh2
設一小段淺藍色部分體積為 ▽ ，質量為 m ，密度為 ρ ，m = ρ▽：
- ƒ×s ＋ ½ mv2 ＋ mgh
- = (ƒ/A)×A‧s ＋ ½ ρ▽v2 ＋ ρ▽gh
- = p▽ ＋ ½ ρ▽v2 ＋ ρ▽gh
- p1▽1 ＋ ½ ρ1▽1v12 ＋ ρ1▽1gh1 = p2▽2 ＋ ½ ρ2▽2v22 ＋ ρ2▽2gh2
若流體不可壓縮，▽1 = ▽2 = ▽ ，ρ1 = ρ2 = ρ ，各項約去 ▽ ：
- p ＋ ½ρv2 ＋ ρgh = 常數
- 其中 p 代表做功，½ ρv2 代表動能， ρgh 代表位能。
側方開孔量壓力差
p1 − p2 = ½ρ (v22 − v12)
- 沒有高度差的白努利公式
- A1‧s1 = A2‧s2 各項同除以時間 t 得 A1‧v1 = A2‧v2
- v2 = (A1/A2)v1
ρh = p1 − p2 = ½ρ (A12/A22 − 1) v12
h=½ (A12/A22 − 1) v12
