進階數學及科學/月考2/柯智懷

題組一：

1. 設時間為 x 軸，位移為 y 軸， y=-0.15*x²+1.5x ，求速度方程式與加速度方程式。
   • 速度方程式：y=-0.3x+1.5
     • 速度是位移的微分。
     • y=-0.15*x²+1.5x
     • 2*-0.15*x^2-1=-0.3*x¹=-0.3x
     • 1.5x=1*1.5*x^1-1=1.5*x⁰=1.5
     • y=-0.3x+1.5
   • 加速度方程式：y=-0.3
     • 加速度是速度的微分。
     • y=-0.3x+1.5
     • 1*-0.3*x^1-1=-0.3*x⁰=-0.3
     • 0*1.5*x^0-1=0*x^-1=0
     • y=-0.3+0=-0.3
2. 畫圖：

1. • 位移-時間命名為 s(x) 。
   • 速度-時間命名為 s'(x) 。
   • 加速度-時間命名為 s''(x) 。
2. 說明：每圖兩種曲線
   • s'是s的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s 在各點趨近的切線斜率，及 s' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。(提示：取「切線斜率」時，點要密一點；但取值時點不用很密)

dot		1	2	3	4	5
x		0.2	0.4	0.6	0.8	1
s	y	0.294	0.576	0.846	1.104	1.35
	slope	1.4385	1.3785	1.3185	1.2585	1.1985
s'	y	1.44	1.38	1.32	1.26	1.2

1. • s''是s'的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s' 在各點趨近的切線斜率，及 s'' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。

dot		1	2	3	4	5
x		0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
s'	y	1.44	1.38	1.32	1.26	1.2
	slope	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3
s''	y	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3

1. • 兩點之間的∆s＝s'與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間s'與 x 軸所夾的面積，及 s 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s 是否等於 s'與 x 軸所夾的面積。

1. • • 梯形的面積為(1.26+1.44)*0.6/2=0.81 ，與之相等。
   • ∆s'＝s''與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間 s'' 與 x 軸所夾的面積，及 s' 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s' 是否等於 s'' 與 x 軸所夾的面積。

1. • • 長方形之面積為-0.3*0.6=-0.18，與之相等。

題組二：求微分

1. 2x⁴=4*2*x^4-1=8x³
2. 4x³=3*4*x^3-1=12x²
3. -3x=1*-3*x^1-1=-3x⁰=-3
4. 2=0*2*x^0-1=0*2*x^-1=0
5. 4√x=4*x^1/2=1/2*4*x^1/2-1=1/2*4*x^-1/2=2*x^-1/2=2*(1/√x)=2*√x
6. 2x⁴+4x³-3x+2=8x³+12x²-3+0=8x³+12x²-3

題組三：x²-4x-1

1. x²-4x-1=0，用配方法求兩根。
   • x²-4x-1=(x²-4x+4)-4-1=0
   • (x²-4x+4)-4-1=0
   • (x-2)²=5
   • x-2=±√5
   • x=2±√5
   • 一個根是2+√5；另一個是2-√5。
2. 對 y=x²-4x-1 畫圖，求最大值或最小值、兩根。
   • 此方程式具備最小值-5。
   • 根據十分逼近法，其一根約為-0.23606797749978，另一個根約為4.2360679776001。
3. 說明係數與圖形的關係。
   • 二次方程式之係數為正者必有最小值，必無最大值，圖形上其無極限值之「開口」向上；係數為負者反之。

題組四：

• 用鋁片做容量 125cm³之正方柱形罐頭，用什麼尺寸才可使材料最節省。
  • 以x代表正方形截面的邊長；y代表柱高。
  • x²*y=125
  • 截面為正方形（意即長寬相等，其面積為邊長之平方），柱高為125/x²。
  • 計算表面積。f(x)=2x²+4x*125/x²=2x²+500/x
  • 對表面積做微分。f'(x)=4x-500/x²=(x³-125)/x²
  • 化簡。(x³-125)/x²=x³-125=0
  • x=125^1/3=5
  • 5²*y=125
  • 25*y=125
  • y=5，故高為5時最節省材料。

題組五：

• 說明求導法則
  1. 常數微分為零。微分求變化，故對於無變化的常數，求其變化為零。
  2. 常係數可提出。常數變化為零，故常數係數可直接提出。
  3. 乘積法則。兩個可微分函數之積之微分為其乘數的微分乘上被乘數與其被乘數的微分乘上乘數之和；表現為(fg)'=f'g+fg'。
  4. 鏈式法則。複合函數（表現為一個函數代入另一個函數）之微分為複合函數中後項成員代入前項成員之微分乘以後項成員之微分，可表現為一數之分子與分母同乘以d(g(x))。