進階數學及科學

• 基本：
  1. a^m+n=a^m*aⁿ
  2. a^mn=(a^m)ⁿ=a^m*n
  3. a⁰=1，a≠0
  4. $a^{\frac {1}{m}}$=${\sqrt[{m}]{a}}$
  5. a^-m=${\frac {1}{a^{m}}}$
• 引出：
  1. a^m-n=${\frac {a^{m}}{a^{n}}}$，a≠0
  2. $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
  3. $({\frac {a}{b}})^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$，b≠0
  4. (a*b)^m=a^m*b^m

• 原點，X軸，Y軸，四象限
• 點：(x,y)
• 線段
  1. 端點座標：(x₁,y₁)、(x₂,y₂)
  2. 線段長：${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$
• 向量
• A點座標為(x₁,y₁)、B點座標為(x₂,y₂)
  1. 表示法：${\overrightarrow {AB}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=(x,y)=-{\overrightarrow {BA}}$
  2. 方向
  3. 大小：即線段長$={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$
  4. 向量加法
• 面

• 一次方程式：
  1. ax+by=c
  2. 標準式：y=mx+c
     • 比較 y=x,y=2x,y=3x
     • 比較 y=x+3,y=2x+3,y=3x+3
     • 比較 y=-x,y=-2x,y=-3x
  3. 練習題
• 二次方程式：
  1. 圓，r代表半徑：${\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}=1$→$x^{2}+y^{2}=r^{2}$→$y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$→ google 畫圖 y=(r^2-x^2)^0.5 和 y=-(r^2-x^2)^0.5
  2. 標準圓：$x^{2}+y^{2}=1$
  3. 橢圓：${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
     • ${\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{2}}{3^{2}}}=1$→$y=\pm {\sqrt {\frac {36-9x^{2}}{4}}}$→ google 畫圖 y=((36-9x^2)/4)^0.5 和 y=-((36-9x^2)/4)^0.5
     • ${\frac {x^{2}}{3^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}=1$→$y=\pm {\sqrt {\frac {36-4x^{2}}{9}}}$→ google 畫圖 y=((36-4x^2)/9)^0.5 和 y=-((36-4x^2)/9)^0.5
     • 承上式，以(x+y)代替x、以(x-y)代替y可以得到旋轉 45° 的圖形，${\frac {(x+y)^{2}}{3^{2}}}+{\frac {(x-y)^{2}}{2^{2}}}=1$→如$13x^{2}-10xy+13y^{2}=36$→ google 畫圖 y=(5x+(468-144x^2)^0.5)/13 和 y=(5x-(468-144x^2)^0.5)/13
  4. 左右雙曲線：${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
     • x²-y/²=1→ google 畫圖 y=(x^2-1)^0.5 和 y=-(x^2-1)^0.5
  5. 上下雙曲線：${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$
     • y²-x/²=1→ google 畫圖 y=(x^2+1)^0.5 和 y=-(x^2+1)^0.5
     • 相對論時空用的是上雙曲線：以水平 x軸代表空間位移，縱軸代表 ct
  6. 上下拋物線標準式：$y={\frac {(x-h)^{2}}{4c}}+k$
     • 觀察 y=x^2,y=-x^2,y=(x-3)^2+4 的圖形
       1. 頂點在 (h,k)
       2. $x^{2}$的係數是正的，開口向上；$x^{2}$的係數是負的，開口向下
  7. 左右拋物線標準式：$x={\frac {(y-h)^{2}}{4c}}+k$
• 示範用配方法解二次方程式
• 三次方程式：
  1. $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
• n次方程式：
  1. $y=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dcx^{n-3}$…
• 指數方程式
  1. 比較 y=1^x,y=2^x,y=(1/2)^x 的圖形
  2. 通過(0,1)
  3. 底大於 1 ，漸升，可升至無限大
  4. 底小於 1 ，漸降，降到趨近 0
  5. y=a^x與y=a^-x左右對稱
  6. y=e^x
     • e
     • 指數衰減
• 絕對值方程式
  1. y=1-abs(x)，y=-(1-abs(x)) 的圖形

「切線斜率」就是「微分」，又叫導數。

過圖形上一點求該點切線方程式

• 函數 ƒ 在 a 之切線斜率記為 ƒ'(a) ，定義如下：(h=x-a)
• $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
  其他的表示方式：
  1. $f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
  2. y=ƒ(x)，ƒ'(x)=${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$，Δx極小。ƒ'(x)稱為ƒ(x)的導函式，ƒ'(a)為ƒ(x)在 a 點的導數。
  3. y=ƒ(x)，ƒ'(x)=${\frac {dy}{dx}}$。ƒ'(x)稱為ƒ(x)的導函式，ƒ'(a)為ƒ(x)在 a 點的導數。
• 單項式的 ƒ'(x)
  1. a*xⁿ對 x 的微分為 n*a*x^n-1
  2. n為0(即常數)，則微分為 0 。因為微分代表「變化」，常數沒有變化。
  3. 除 0 之外，n不管是正數或負數、整數或非整數都成立，
• 多項式的 ƒ'(x)
  1. 每個單項皆微分
  2. 常數項微分為0
• 例題
• y=ƒ'(x) 與 y=0 所夾面積即為 y=ƒ(x)

• 1. 圓，r代表半徑：$$

      
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  y
                  
                    2
                  
                
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
            
            =
            1
          
        
        {\displaystyle {\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}=1}
      
     

     →$$

      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            =
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
      
     

     →$$

      
        
          
            y
            =
            ±
            
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        {\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
      
     

     → google 畫圖 y=(r^2-x^2)^0.5 和 y=-(r^2-x^2)^0.5
  2. 標準圓：$x^{2}+y^{2}=1$
  3. 橢圓：${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
     • ${\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{2}}{3^{2}}}=1$→$y=\pm {\sqrt {\frac {36-9x^{2}}{4}}}$→ google 畫圖 y=((36-9x^2)/4)^0.5 和 y=-((36-9x^2)/4)^0.5
     • ${\frac {x^{2}}{3^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}=1$→$y=\pm {\sqrt {\frac {36-4x^{2}}{9}}}$→ google 畫圖 y=((36-4x^2)/9)^0.5 和 y=-((36-4x^2)/9)^0.5
     • 承上式，以(x+y)代替x、以(x-y)代替y可以得到旋轉 45° 的圖形，${\frac {(x+y)^{2}}{3^{2}}}+{\frac {(x-y)^{2}}{2^{2}}}=1$→如$13x^{2}-10xy+13y^{2}=36$→ google 畫圖 y=(5x+(468-144x^2)^0.5)/13 和 y=(5x-(468-144x^2)^0.5)/13
  4. 左右雙曲線：${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
     • x²-y/²=1→ google 畫圖 y=(x^2-1)^0.5 和 y=-(x^2-1)^0.5
  5. 上下雙曲線：${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$
     • y²-x/²=1→ google 畫圖 y=(x^2+1)^0.5 和 y=-(x^2+1)^0.5
     • 相對論時空用的是上雙曲線：以水平 x軸代表空間位移，縱軸代表 ct
  6. 上下拋物線標準式：$y={\frac {(x-h)^{2}}{4c}}+k$
     • 觀察 y=x^2,y=-x^2,y=(x-3)^2+4 的圖形
       1. 頂點在 (h,k)
       2. $x^{2}$的係數是正的，開口向上；$x^{2}$的係數是負的，開口向下
  7. 左右拋物線標準式：$x={\frac {(y-h)^{2}}{4c}}+k$
• 示範用配方法解二次方程式