E
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e 為自然對數底,又稱自然常數、自然底數、歐拉數(Euler's number)。值約:
e = 2.71828182845904523536,前十五位
記憶要訣:2.7、兩次 1828 ,45度90度45度(等腰直角)。
定義:
- 定義 e 爲下列極限值:
- [math]e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/math]
- [math]e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}[/math]
- 定義 e 爲階乘倒數之無窮級數的和:
- [math]e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots[/math]
- 其中 n! 代表 n 的階乘。
- 證明是使用二項式定理,詳見中文維基百科 e 條目
-
- 定義 e 爲唯一的正數[math]x[/math]使得
- [math]\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt= 1[/math]
- 圖示:
- xy=1 為雙曲線,y=ƒ(x)=1/x
- 如右圖,此函數取積分,從 1 積分到 e ,積分值恰為 1 。