E

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於 2021年1月3日 (日) 18:37 由 丁志仁討論 | 貢獻 所做的修訂 →‎四、\ln x 的微分
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e 為自然對數底,又稱自然常數、自然底數、歐拉數(Euler's number)。值約:
e = 2.71828182845904523536,前十五位 記憶要訣:2.7、兩次 1828 ,45度90度45度(等腰直角)。

定義:

  1. 定義 e 爲下列極限值:
    [math]e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/math]
    [math]e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}[/math]
  2. 定義 e 爲階乘倒數之無窮級數的和:
    [math]e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots[/math]
    其中 n! 代表 n 的階乘。
    證明是使用二項式定理,詳見中文維基百科 e 條目
  3. 定義 e 爲唯一的正數 x 使得
    [math]\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt= 1[/math]
    圖示:
    xy=1 為雙曲線,y=ƒ(x)=1/x
    如右圖,此函數取積分,從 1 積分到 e ,積分值恰為 1 。
  4. 定義 e 爲唯一的實數 x 使得
    [math]\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1[/math]

以上定義是等價的,證明請見:Characterizations of the exponential function(指數函數的表徵)

性質:

一、[math]e^x[/math]導數與自身相等

[math]\frac{d}{dx} e^x=e^x[/math],簡圖如下:


請看右圖,藍色曲線為 [math]e^x[/math] ,從在藍色曲線上任意一點 P ,繪製紅色切線,和高度為 h 的垂直豎線,與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比,而導數等於這個函數的值, h 必須等於 h 與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。

二、[math]e^{x}[/math] 的泰勒級數

[math]e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x[/math]
[math]= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...[/math]

或:

[math]e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n[/math]

用泰勒級數證明 [math]{d \over dx} e^x = e^x[/math]

[math] \begin{align} \frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt] & =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt] & =e^x \end{align} [/math]

三、[math]\ln x[/math]

[math]y=e^x[/math],這是給定指數大小,求出次方值。
如果 x,y 對調,
變成給定次方值,求出指數大小:
[math]x=e^y[/math][math]\ln x=y[/math][math]y=\ln x[/math]
圖形如下:

四、[math]\ln x[/math] 的微分

如右圖, [math]y=e^x[/math] 為紅線, [math]y=\ln x[/math] 為綠線,兩者以 y=x (藍)直線互為鏡像。

既然 [math]y=e^x[/math] 的切線斜率 ∆x 始終為 1 ∆y 始終為 y ,斜率始終為 y ;
那麼 [math]y=\ln x[/math] 的切線斜率就會 ∆y 始終為 1 ∆x 始終為 x ,斜率始終為 1/x 。


[math]\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}[/math]

四、[math]\sqrt[x]{x}[/math] 的極大值

如右圖: [math]f(x) = x^\frac{1}{x}[/math] 其最大值在 x=e 處

擴充至複數

歐拉公式:

[math]e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x[/math]

歐拉恆等式:當[math]x = \pi[/math]

[math]e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0[/math]

棣美弗公式:

[math](\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)[/math]