E
e 為自然對數底，又稱自然常數、自然底數、歐拉數(Euler's number)。值約：
e = 2.71828182845904523536，前十五位
記憶要訣：2.7、兩次 1828 ，45度90度45度(等腰直角)。
定義：
- 定義 e 爲下列極限值：
- [math]e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/math]
- [math]e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}[/math]
- 定義 e 爲階乘倒數之無窮級數的和：
- [math]e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots[/math]
- 其中 n! 代表 n 的階乘。
- 證明是使用二項式定理，詳見中文維基百科 e 條目
- 定義 e 爲唯一的正數 x 使得
- [math]\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt= 1[/math]
- 圖示：
- xy=1 為雙曲線，y=ƒ(x)=1/x
- 如右圖，此函數取積分，從 1 積分到 e ，積分值恰為 1 。
- 定義 e 爲唯一的實數 x 使得
- [math]\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1[/math]
以上定義是等價的，證明請見：Characterizations of the exponential function(指數函數的表徵)
性質：
一、[math]e^x[/math]導數與自身相等
- [math]\frac{d}{dx} e^x=e^x[/math]，簡圖如下：
請看右圖，藍色曲線為 [math]e^x[/math] ，從在藍色曲線上任意一點 P ，繪製紅色切線，和高度為 h 的垂直豎線，與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值， h 必須等於 h 與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。
二、[math]e^{x}[/math]的泰勒級數
- [math]e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x[/math]
- [math]= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...[/math]
或：
- [math]e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n[/math]
