E

e 為自然對數底，又稱自然常數、自然底數、歐拉數(Euler's number)。值約：
e = 2.71828182845904523536，前十五位 記憶要訣：2.7、兩次 1828 ，45度90度45度(等腰直角)。

定義：

1. 定義 e 爲下列極限值：

   [math]e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/math]

   [math]e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}[/math]

2. 定義 e 爲階乘倒數之無窮級數的和：

   [math]e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots[/math]

   其中 n! 代表 n 的階乘。

   證明是使用二項式定理，詳見中文維基百科 e 條目

   

3. 定義 e 爲唯一的正數 x 使得

   [math]\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt= 1[/math]

   圖示：

   xy=1 為雙曲線，y=ƒ(x)=1/x

   如右圖，此函數取積分，從 1 積分到 e ，積分值恰為 1 。

4. 定義 e 爲唯一的實數 x 使得

   [math]\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1[/math]

以上定義是等價的，證明請見：Characterizations of the exponential function(指數函數的表徵)

性質：

一、[math]e^x[/math]導數與自身相等

[math]\frac{d}{dx} e^x=e^x[/math]，簡圖如下：

請看右圖，藍色曲線為 [math]e^x[/math] ，從在藍色曲線上任意一點 P ，繪製紅色切線，和高度為 h 的垂直豎線，與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值， h 必須等於 h 與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。

二、[math]e^{x}[/math] 的泰勒級數

[math]e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x[/math]

[math]= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...[/math]

或：

[math]e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n[/math]

用泰勒級數證明 [math]{d \over dx} e^x = e^x[/math] ：

[math] \begin{align} \frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt] & =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt] & =e^x \end{align} [/math]

三、[math]\ln x[/math]

[math]y=e^x[/math]，這是給定指數大小，求出次方值。
如果 x,y 對調，
變成給定次方值，求出指數大小：
[math]x=e^y[/math] 稱 [math]\ln x=y[/math] 即 [math]y=\ln x[/math] 。
圖形如右：

四、[math]\ln x[/math] 的微分

如右圖， [math]y=e^x[/math] 為紅線， [math]y=\ln x[/math] 為綠線，兩者以 y=x (藍)直線互為鏡像。

既然 [math]y=e^x[/math] 的切線斜率 ∆x 始終為 1 ∆y 始終為 y ，斜率始終為 y ；
那麼 [math]y=\ln x[/math] 的切線斜率就會 ∆y 始終為 1 ∆x 始終為 x ，斜率始終為 1/x 。

[math]\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}[/math]

四、[math]\sqrt[x]{x}[/math] 的極大值

如右圖： [math]f(x) = x^\frac{1}{x}[/math] 其最大值在 x=e 處

擴充至複數

歐拉公式：

[math]e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x[/math]

歐拉恆等式：當[math]x = \pi[/math]

[math]e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0[/math]

棣美弗公式：

[math](\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)[/math]