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[[分類:大學物理]]
<i>e</i> 為自然對數底，又稱自然常數、自然底數、歐拉數(Euler's number)。值約：<br/><i>e</i> = 2.71828182845904523536，前十五位
記憶要訣：2.7、兩次 1828 ，45度90度45度(等腰直角)。

==定義：==
# 定義 <i>e</i> 爲下列極限值：
#:<math>e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
#:<math>e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}</math>
# 定義 <i>e</i> 爲階乘倒數之無窮級數的和：
#:<math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots</math>
#: 其中 n! 代表 n 的階乘。
#: 證明是使用二項式定理，詳見[[zhtwwikipedia::E_(数学常数)#二項式定理|中文維基百科 e 條目]]
#:<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Hyperbola_E.svg' width=150px height=*/></div>
#定義 <i>e</i> 爲唯一的正數 <i>x</i> 使得
#:<math>\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt= 1</math>
#:圖示：
#:xy=1 為雙曲線，y=ƒ(x)=1/x
#:如右圖，此函數取積分，從 1 積分到 <i>e</i> ，積分值恰為 1 。
# 定義 <i>e</i> 爲唯一的實數 <i>x</i> 使得
#:<math>\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1</math>
以上定義是等價的，證明請見：[[wikipedia::Characterizations_of_the_exponential_function|Characterizations of the exponential function]](指數函數的表徵)

==性質：==
===一、<math>e^x</math>導數與自身相等===
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c4/Exp_tangent.svg' width=220px height=*/></div>
:<math>\frac{d}{dx} e^x=e^x</math>，簡圖如下：
<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Exp.svg' width=260px height=*/>


請看右圖，藍色曲線為 <math>e^x</math> ，從在藍色曲線上任意一點 P ，繪製紅色切線，和高度為 h 的垂直豎線，與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值， h 必須等於 h  與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。

===二、<math>e^{x}</math> 的泰勒級數===
:<math>e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x</math>
:<math>= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...</math>
或：
: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n</math>
用泰勒級數證明 <math>{d \over dx} e^x = e^x</math> ：
: <math>
\begin{align}
\frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt]
& =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt]
& =e^x
\end{align}
</math>

===三、<math>\ln x</math>===
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Exp_explog.png' width=240px height=240px/></div>
<math>y=e^x</math>，這是給定指數大小，求出次方值。如果 x,y 對調，變成給定次方值，求出指數大小：<math>x=e^y</math> 稱 <math>\ln x=y</math> 即 <math>y=\ln x</math>

如右圖， <math>y=e^x</math> 為紅線， <math>y=\ln x</math> 為綠線，兩者以 y=x (藍)直線互為鏡像。

既然 <math>y=e^x</math> 的切線斜率 ∆x 始終為 1 ∆y 始終為 y ，斜率始終為 y ；那麼 <math>y=\ln x</math> 的切線斜率就會 ∆y 始終為 1 ∆x 始終為 x ，斜率始終為 1/x 。


<math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}</math>

===四、<math>\sqrt x x </math> 的極大值===
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Xth_root_of_x.svg' width=250px height=*/></div>
 f(x) = x^\frac{1}{x}</math>